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%      群
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%\chapter{群}
\section{基本概念}

\begin{definition}{二元运算(binary operation)}{fubi}
	集合G上的二元运算是一个如下的函数：$*:G \times G \rightarrow G$.
\end{definition}
在不引起歧义的情况下，二元运算$*(a,b)$通常写成$a*b$，这里需要注意的是，二维及以上向量的点积运算不是我们这里定义的二元运算，如$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2),a\cdot b =x_1 x_2+ y_1 y_2$，因为参与运算的是两个向量，结果是一个数，显然不是同一个集合，不符合定义。

\begin{definition}{代数系统(algebra system)}{fubi}
	对于非空集合S以及S上的运算$\star$,若运算满足封闭性(closure)，则称S和运算构成一个代数系统，记为$(S,\star)$.
\end{definition}

\begin{definition}{半群(semigroup)}{fubi}
	G是一个非空集合，*是定义在集合G上的一个二元运算，$(G,*)$被称为半群，如果$(G,*)$满足以下条件：\\
	(1)  封闭(closure)：对于任意$a,b \in G \Rightarrow a*b \in G$.\\
	(2)  结合律(associative)：对于任意$a,b,c \in G \Rightarrow a*(b*c)=(a*b)*c$.
\end{definition}

\begin{example}
	整数集$\mathbb{Z}$，有理数集$\mathbb(Q)$，实数集$\mathbb{R}$，复数集$\mathbb{C}$在普通加法下满足封闭性和结合律，所以构成半群,同样在普通乘法下满足封闭性和结合律，所以也构成半群。
\end{example}

\begin{definition}{幺半群或单位半群(monoid)}{fubi}
	具有单位元(identity element)的半群称为独异点，也叫幺半群.
\end{definition}

\begin{definition}{群(group)}{fubi}
	半群$(G,*)$被称为群，如果满足以下条件：\\
	(1)  单位元(identity element)：$\exists e \in G,\forall a \in G \Rightarrow e*a=a$，此时我们称e为G的左幺员(member of the upper-left)。\\
	(2)  逆元(inverse element)：$\forall a \in G, \exists a' \in G,a' *a =e$，此时我们称元素a'为a的左逆元(left inverse element)。.
\end{definition}

群的另外一个定义是：G中每个元素都有逆元的独异点叫群。\par

\begin{note}
	以上各个定义是渐进定义，也就是不断加入新的限制，如封闭(closure)、结合律(associative),还有以后要用到的消去律(cancellation law)和交换律(commutative law).
\end{note}

\begin{example}
	$(\mathbb{Z},+)$,单位元是0，任何一个整数a都存在逆元-a，所以$(\mathbb{Z},+)$为群。同样，有理数集$\mathbb{Q}$，实数集$\mathbb{R}$，复数集$\mathbb{C}$在普通加法下构成群。$\mathbb{Q^*}=\mathbb{Q} \backslash \{ 0 \} , (\mathbb{Q^*}, \times)$,单位元是1，任何一个有理数a，存在逆元$\frac{1}{a}$，所以$(\mathbb{Q^*}, \times)$为群,同样$\mathbb{R^*}=\mathbb{R} \backslash \{ 0 \}，\mathbb{C^*}=\mathbb{C} \backslash \{ 0 \}$在普通乘法下也构成群。$(\mathbb{Z^*},\times)$存在单位元，但是不存在逆元，所以$(\mathbb{Z^*},\times)$仅能构成半群。
\end{example}

\begin{theorem}{群的幺元和逆元性质}{fubi}
	G是一个群，e是G的左幺元，则有：\\
	(1)任意$a \in G$，b是a的左逆元，则b也是a的右逆元，称b是a的逆元。\\
	(2)e也是G的右幺元，称e是G的幺元。\\
	(3)任意$a \in G$，其逆元是唯一的。
\end{theorem}
\begin{proof}
	(1)设c为b的左逆元， $a * b=e* (a* b)=(c* b)* (a * b)=c * (b * a)* b=c* e * b=c* b =e$，可见b也是a的右逆元.\\
	(2)设b为a的逆元，$a* e = a * (b * a)=(a* b)* a=e * a=a$，可见e也是右逆元。\\
	(3)设b，d均为a的逆元，$b=b* e=b * (a * d)=(b* a)* d=e* d =d$，可见逆元唯一.
\end{proof}

\begin{definition}{群的阶(group order)}{fubi}
	群$(G,*)$的元素个数称为此群的阶，记为$\mid G \mid $，如果$\mid G \mid $有限，则称$(G,*)$为有限群(finite group),否则称为无限群(infin group)。
\end{definition}

\begin{example}\\
	$\mathbb{Z}_n = \{ 0,1,2,\ldots , n-1\} $，定义$( \mathbb{Z}_n ，+) $,二元运算+为模n的加法，$( \mathbb{Z}_n ，+) $为群，为有限群。
\end{example}

\begin{definition}{元素的阶(order)}{fubi}
	群$(G,*)$中的元素a，使$a^n = \textbf{1}$的最小正整数n称为元素a的阶，记为$ord(a)$。如果不存在这样的正整数，我们称a为无限阶元素。
\end{definition}
\begin{remark}
	在谈到任意群的幺元时，通常用$\textbf{1}$来表示，但是其并不是1，只是一个记号，例如整数加法群里面幺元是0.用$a^{-1}$表示a的逆元。
\end{remark}

\begin{example}\\
	(1)在任何群中，只有单位元的阶为1，即$ord(\textbf{1}) =1$.\\
	(2)普通加法下，$\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$中，每个非零数都是无限阶。整数中幺元为0，任何一个非零数连加都不会是0，所以是无限阶。\\
	(3)普通乘法下，$\mathbb{Q*},\mathbb{R*},\mathbb{C*}$中，$ord(1)=1,ord(-1)=1$,幺元为1，非1和-1，没有任何数连乘会是1，所以其他都是无限阶。
\end{example}

\begin{theorem}{关于方程解}{fubi}
	G是一个群，$a,b \in G$，则方程$ax=b$和$ya=b$有唯一的解。
\end{theorem}

\begin{theorem}{群中元素幂的性质}{fubi}
	对于正整数m和n，群中元素a的幂满足：\\
	(1)$ (a^{-1})^n = (a^n)^{-1}$;\\
	(2)$a^{n+m}=a^n a^m$;\\
	(3)$(a^n)^m = a^{nm}$;
\end{theorem}

\begin{theorem}{元素阶的性质}{fubi}
	有限群G中元素a的阶必为有限数。
\end{theorem}

\begin{example}\\
	Klein\footnote{Klein是个德国人，中文又是音译为克莱因，Klein群是一个最小非循环群，有时常用V来表示，因为德文的四元群单词为Vierergruppe}四元群为集合$G={a,b,c,e}$，其上二元运算$\cdot$定义如下表(通常有限群的运算关系用以下表格方式给出，此表称为G的群表)：\\
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\hline 
			$\cdot$ & e & a & b & c \\ 
			\hline 
			e & e & a & b & c \\ 
			\hline 
			a & a & e & b & c \\ 
			\hline 
			b & b & c & e & a \\ 
			\hline 
			c & c & b & a & e \\ 
			\hline 
		\end{tabular} 
	\end{center}
\end{example}
\begin{solution}\par
	观察群表，可知，$\forall x \in G,x \cdot e = e \cdot x =x$,所以e是单位元或幺元，$\forall x \in G,x \cdot x =e$，所以x的逆元就是x自身。同样可以验证$\forall x,y,z \in G,(x \cdot y) \cdot z = x\cdot (y \cdot z)$,即满足结合律。\par
	$(G, \cdot)$对于二元运算是封闭的，满足结合律，所以是一个半群，由于存在单位元和逆元，所以其是群。
\end{solution}

\section{子群}

\begin{definition}{子群(subgroup),平凡子群(trivial subgroup),真子群(proper subgroup)}{fubi}
	设$ (G,*) $是一个群，$ H  \subset G $，如果H对于运算*也构成群，那么称H是G的子群，记为$H \leq G$.
	由于$\left\lbrace \textbf{1} \right\rbrace$ 和G都是G的子群，我们称$\left\lbrace \textbf{1} \right\rbrace $和G为G的平凡子群，否则称为非平凡子群。如果子群 $H \neq G$，我们认为H是真子群，记为$H < G$ 。
\end{definition}
\begin{example}\par
	在普通加法下，$\mathbb{Z} \leq \mathbb{Q} \leq \mathbb{R} \leq \mathbb{C}$。
\end{example}
\begin{example}\par
	在普通加法下$\mathbb{R}$是群，普通乘法下$\mathbb{Q*} $是群，而且$\mathbb{Q*} \subset \mathbb{R} $,但$(\mathbb{Q*} , \times)$不是$(\mathbb{R} , +)$子群，因为这两个群的二元运算不同。
\end{example}

\begin{theorem}{子群的等价条件}{fubi}
	G是一个群，H是它的非空子集，则：\\
	$H \leq G \Leftrightarrow \\
	\textbf{1} \in H;a \in H ~then~ a^{-1} \in H; a,b \in H ~then~ ab \in H \Leftrightarrow \\
	a,b \in H ~then~ ab \in H,a^{-1} \in H \Leftrightarrow \\
	 \forall a,b \in H, ab^{-1} \in H$
\end{theorem}
由于这些条件都是与H是G子群的等价条件，所以也可以用于子群的判断。
\begin{example}\par
	$n \in \mathbb{Z},n \mathbb{Z}=\{ n \times k \mid k \in \mathbb{Z} \}$,则$( n \mathbb{Z} , + )$是$(\mathbb{Z},+)$的子群。
\end{example}
\begin{proof}
	$n \mathbb{Z} \subset \mathbb{Z} $, $\forall a,b \in n \mathbb{Z}$,存在$i,j \in \mathbb{Z}$,使得$a =n \times i , b = n \times j,$我们有$a+b=n\times i + n \times j= n \times (i+j) \in n\mathbb{Z}$,单位元为0，$ a^{-1} = -n \times i \in n\mathbb{Z}$，根据上述定理($a,b \in H ~then~ ab \in H,a^{-1} \in H$)，我们可知$( n \mathbb{Z} , + )$是$(\mathbb{Z},+)$的子群。
\end{proof}

\begin{theorem}{有限群的子群判定}{fubi}
	G是一个有限群，他的非空子集H是子群 $\Leftrightarrow$H在G的二元运算下是封闭的。
\end{theorem}
上述定理只有在G是有限群时才成立，下面我们给出一个示例。
\begin{example}\par
	在普通加法下$\mathbb{Z}$是一个无限群，$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$，且加法下封闭，但其不是$\mathbb{Z}$的子群。我们如果从群的定义出发，会发现自然数集合在加法下是一个半群，但是不是一个群。
\end{example}

\begin{definition}{正规子群(normal subgroup)}{fubi}
	K是G的子群，如果对于任意$k \in K,g \in G$，有$gkg^{-1} \in K$，则称K是G的正规子群，记为$K\vartriangleleft G$.
\end{definition}

\begin{example}\par
	$n > 1,(n \mathbb{Z}, +) \vartriangleleft ( \mathbb{Z}, +)$。
\end{example}
\begin{solution}\par
	任意$g \in \mathbb{Z}, k \in n \mathbb{Z}$,加法满足交换律，g逆元为-g，所以$g+k+(-g)=g+(-g)+k=\textbf{1} + k =0+k =k \in n\mathbb{Z}$，所以$n\mathbb{Z}$是$\mathbb{Z}$的正规子群。
\end{solution}
\begin{theorem}{正规子群的等价条件}{fubi}
	$H \leq G$，则：\\
	$H \vartriangleleft G \Leftrightarrow \\
	 \forall g \in G, gHg^{-1}=H \Leftrightarrow \\
	 \forall g \in G, gH=Hg; \Leftrightarrow \\
	 \forall g_1, g_2 \in G, g_1Hg_2H=g_1 g_2 H.$
\end{theorem}
\begin{example}
	$(n \mathbb{Z}, +) \vartriangleleft ( \mathbb{Z}, +)$,举例来验证以上等价条件。
\end{example}

\section{交换群/阿贝尔群}
\begin{definition}{阿贝尔群(Abelian groups)}{fubi}
	如果群$(G,*)$中的二元运算*满足交换律(commutative law)，那么群$(G,*)$称为阿贝尔群(Abelian groups)或交换群(commutative groups)。
\end{definition}

\begin{theorem}{交换群子群的正规性}{fubi}
	任意交换群的子群都是正规子群。
\end{theorem}

\section{循环群}

	\begin{definition}{循环子群(cyclic sub-group)}{fubi}
		G是一个群，$a \in G$，集合$\{a^n \mid n \in \mathcal{Z}\}$称为由元素a生成的G的循环子群，记为$<a>$ 。
	\end{definition}
	
	\begin{note}
		在循环子群的定义中注意理解$a^n$的含义，其是指对于群$(G,*)，\underset{n}{\underbrace{a*a* \ldots *a}}$.
	\end{note}

	\begin{theorem}{<a>是子群}{fubi}
		<a>是一个群，且为G的子群。
	\end{theorem}

	\begin{definition}{循环群(cyclic group)}{fubi}
		G是一个群，如果$ \exists  a \in G,G=<a> $，则称G为循环群，称a为G的生成元。
	\end{definition}
	
	由前面的定义和定理可知，任何循环群的子群必定是循环群。一个循环群可以有不止一个生成元，例如，集合$G =<a> = \{ a^n \mid N \in \mathbb{Z} \}$,因为$\{ a^n \mid n \in \mathbb{Z} \} = \{ (a^{-1})^n \mid n \in \mathbb{Z} \} = <a^{-1}$,所以$G = <a^{-1}>$.\par
	
	\begin{example}\par
		$(\mathbb{Z} , +)$是交换群，任取$a \in \mathbb{Z},<a> = \{ na \mid n \in \mathbb{Z} \}$,$(<a>, +)$是$(\mathbb{Z} , +)$的循环子群。\par
		当$a=0$时，这个子群只有一个元素0组成。\par
		当$a=1$时，$<1> =\mathbb{Z} $，所以$(\mathbb{Z} , +)$是循环群，1是$\mathbb{Z}$的生成元。\par
		当$a=2 \  or \  -2$时，$<2> =<-2> =$偶数集合，所以2和-2是偶数集合的生成元。\par
		奇数集合不是$\mathbb{Z}$的循环子群，奇数集合根本不是群，因为不包含单位元$\mathbb{1}$。
	\end{example}

	\begin{example}\par
		集合$\mathbb{Z}_6 ={0,1,2,\ldots,5}$(此处二元运算是什么？\footnote{模6加}),1是$\mathbb{Z}_6$的生产元，另一个明显的生成元是5\footnote{此处$5^n$表示n个5相加模6，所以有$5 \equiv 5 (mod \ 6);5^2=10 \equiv 4 (mod \ 6);5^3=15 \equiv 3 (mod \ 6);5^4=20 \equiv 2 (mod \ 6);5^5=10 \equiv 1 (mod \ 6);5^6=30 \equiv 0 (mod \ 6);$5生成所有元素。}。他的子集\{0,3\} 是一个循环群，该子群的生成元只有一个是3，另一个子集\{0,2,4\}也是循环群，生成元是2，4.
	\end{example}

	\begin{example}\par
		$\mathbb{Z}_5^* =\{1,2,3,4\}$,2和3都是他的生成元\footnote{这种说法其实很迷惑人，因为并没有说明其二元运算是什么，根据本题后面的描述，我们可以假设其二元运算是模5乘法，验算一下，$2^1=2 \equiv 2 (mod \ 5);2^2=4 \equiv 4 (mod \ 5);2^3=8 \equiv 3 (mod \ 5);2^4=16 \equiv 1 (mod \ 5)$，同样验证3是生成元，$3^1=3 \equiv 3 (mod \ 5);3^2=9 \equiv 4 (mod \ 5);3^3=27 \equiv 2 (mod \ 5);3^4=81 \equiv 1 (mod \ 5)$，但是我们也可以看出如果二元运算是模5加法，也成立，读者可以自行验算一下}。该集合的子集\{ 1,4 \}是$(\mathbb{Z}_5^*, \cdot)$的一个循环子群，生成元是4.
	\end{example}

	\begin{theorem}{循环群的生成元}{fubi}
		G=<a>是一个循环群，且$\mid G \mid =n$，则当且仅当$gcd(k,n)=1$时，$a^k$是G的生成元。
	\end{theorem}

	\begin{theorem}{循环群的生成元}{fubi}
		n阶循环群共有$\varphi(n)$个生成元。
	\end{theorem}

	\begin{theorem}{循环群的子群生成元}{fubi}
		G=<a>是一个循环群，$S \leq G$，则S必定是一个循环群，且如果k是使得$a^k \in S $的最小正整数，则$a^k$是S的生成元。
	\end{theorem}
	
	\begin{theorem}{有限循环群的阶}{fubi}
		G是有限群，且$a \in G$,则$ord(a) = \mid <a> \mid$.
	\end{theorem}

	\begin{theorem}{有限循环群的子群}{fubi}
		G=<a>是一个有限循环群，$\mid G \mid =n$，则对于任意整除n的正整数d，一定存在一个唯一的阶为d的循环子群$<a^{\frac{n}{d}}>$.
	\end{theorem}
\subsection{循环子群的构造}
	\begin{theorem}{子群的交集}{fubi}
		子群的交集还是子群.
	\end{theorem}

	\begin{definition}{集合生成的子群}{fubi}
		$(G,\cdot)$是群，S是G的子集，设$(H_i \mid i \in I, \cdot )$是$(G,\cdot)$的所有包含集合S的子群，即$S \subset H_i (i \in I),$则$(H_i \mid i \in I, \cdot )$称为由集合S生成的子群，记为$(<S>, \cdot)$,S中的元素叫子群$(<S>, \cdot)$的生成元。
	\end{definition}

\section{置换群}
	\begin{definition}{置换(permutation)}{fubi}
		给定非空集合X，我们将任意一个双射$\alpha :X \rightarrow X$称作集合X的一个置换。
	\end{definition}
把函数的的复合“$\circ$”看作一种置换间的二元运算(注意：此处群的二元运算是置换的复合)，那么非空集合X的所有置换组成的集合$S_X$就是一个群，我们把这个群记为$(S_X , \circ)$，满足：\par
(1)封闭性(closure):任意两个置换的复合也是置换，所以"$\circ$"是$S_X$上的封闭二元运算。\par
(2)结合律(associative):一般函数的复合满足结合律，所以$\circ$满足结合律。\par
(3)单位元(identity element):定义恒等置换$I_X：X \rightarrow X \Leftrightarrow x \in X, I_X(x)=x$，则对于任意置换$\alpha$,$\alpha \circ I_X = I_X \circ \alpha = \alpha$,所以$I_X$是单位元。\par
(4)逆元(inverse element):对于任意置换$\alpha : X \rightarrow X$，因为是双射，所以存在逆函数$\alpha  ^(-1) :X \rightarrow X,\alpha \circ \alpha ^(-1) = \alpha ^(-1) \circ \alpha = I_X$，所以置换$\alpha ^(-1)$是$\alpha$的逆元。\par
由上可见$(S_X , \circ)$满足所有的群条件，所以其是一个群。\par

	\begin{definition}{全变换群(transformation group)}{fubi}
		$(S_X , \circ)$称为集合X上的全变换群或对称群，当$X={1,2,\ldots,n}$时，称$S_X$为n次变换群(n次对称群)，记作$S_n$。
	\end{definition}
利用排列组合的知识我们知道$S_n$的元素数量是$n!$。

	\begin{definition}{r-轮换}{fubi}
		设$\alpha \in S_n, A=\{ i_1,i_2,\ldots, i_r \} \subset \{1,2,\ldots,n\},B=\{1,2,\ldots,n\} - A,$如果置换$\alpha$ 满足：\\
		(1)对A中的元素有$\alpha (i_1)=i_2, \alpha (i_2)=i_3 ,\ldots, \alpha (i_{r-1})=i_r,\alpha (i_r)=i_1$\footnote{这是按照变换进行了排序，前一个变换结果是下一个变换的变量，这样A的变换其实是形成了一个循环，画图更容易看一些。};
		(2)$i \in B,\alpha(i)=i$;
		我们称置换$\alpha$是一个r-轮换，记为$\alpha(i_1,i_2,\ldots,i_r),$我们也把“2-轮换”称为对换。
	\end{definition}
	
	\begin{example}\par
		一个“3-轮换”$\alpha =(2,1,3) \in S_5$，其置换的含义是$\alpha(2)=1,\alpha(1)=3,\alpha(3)=2,\alpha(4)=4,\alpha(5)=5.$也可以表示为：\\
		$\alpha=\begin{pmatrix}
			2&1&3&4&5\\
			1&3&2&4&5
		\end{pmatrix}$
	\end{example}
	任意置换可以分解为多个轮换的复合，为了称呼简单一些，我们以后将置换的复合称为“乘积”，以此来简化轮换的复合表示。
	\begin{example}\par
		如下置换$\alpha \in S_5$可以用两种不同的轮换乘积来表示：
		$\alpha = (1,2)(1,3,4,2,5)(2,5,1,3)=(1,4)(3,5)(2)$\\
		复合运算是从右向左，我们可以验证上面是相等的：\\
		$\begin{pmatrix}
		2&5&1&3&4\\
		5&1&3&2&4\\
		-&-&-&-&-\\
		1&3&4&5&2\\
		-&-&-&-&-\\
		2&3&4&5&1
		\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
		2&5&1&3&4\\
		2&3&4&5&1
		\end{pmatrix}\overset{rearrange}{=}\begin{pmatrix}
		2&5&3&1&4\\
		2&3&5&4&1
		\end{pmatrix}=(2)(5,3)(1,4)$
	\end{example}

	\begin{definition}{轮换不相交}{fubi}
		$\alpha, \beta \in S_n$是两个轮换，且两个轮换记号中没有共同的数字，称轮换$\alpha,\beta$不相交，如果一组轮换中任意两个轮换都不相交，称改组轮换不相交。
	\end{definition}
	1-轮换都等于恒等置换，对于恒等置换写作$\textbf{1}_n$，对于任意轮换$\alpha \in S_n$，如果已知他的轮换分解，求出逆置换的方法是将轮换分解的每一个轮换中的数字倒排，例如$\alpha =(1,4)(5,3) \rightarrow \alpha ^{-1} =(4,1)(5,3),\alpha \alpha= \textbf{1}_{S_5}$.可以计算验证一下。\par
	$S_2$只有两个元素，明显是个交换群，但是$S_n \quad (n \geq 3)$是非交换群。
	
	\begin{example}\par
		对于$S_n \quad (n \geq 3)$有：\\
		$(1,2)(1,3)=(1,3,2)$\\
		$(1,3)(1,2)=(1,2,3)$\\
		可见$(1,2)(1,3) \neq (1,3)(1,2)$.
	\end{example}
	尽管$S_n (n \geq 3)$是非交换群，但是不相交的轮换是可交换的。
	\begin{theorem}{不相交轮换可交换}{fubi}
		不相交的轮换是可交换的。
	\end{theorem}
	对于一个置换的不相交轮换分解来说，随意调整其中各个轮换的次序不会改变该轮换。
	\begin{theorem}{置换唯一分解}{fubi}
		$S_n$中的任意置换一定能够分解为不相交轮换的乘积，且这种分解式唯一的\footnote{这种唯一性是要有约束条件的，分解的形式必须满足以下条件：\\
		(1)对于一个置换的不相交轮换分解，随意调整其中各轮换的次序，把这些记法看做同一个轮换分解。\\
		(2)把一个轮换的不同记法看做一个轮换。\\
		(3)一个置换的不相交轮换分解中去掉任何\textbf{1}-轮换。}。
	\end{theorem}
	\begin{definition}{轮换和置换的阶}{fubi}
		对于一个r-轮换$\alpha,ord(\alpha)=r$,对于任意置换，先将置换进行不相交轮换分解，该置换的阶就等于所有轮换因子长度的最小公倍数。
	\end{definition}
	\begin{example}\par
		3-轮换$(1,2,3) \in S_3$,我们用定义求解其阶。\\
		$(1,2,3)=\begin{pmatrix}
		1&2&3\\
		2&3&1
		\end{pmatrix}$,\\
		$(1,2,3)(1,2,3)=\begin{pmatrix}
		1&2&3\\
		3&1&2
		\end{pmatrix}$,\\
		$(1,2,3)(1,2,3)(1,2,3)=\begin{pmatrix}
		1&2&3\\
		1&2&3
		\end{pmatrix}$,\\
		可见(1,2,3)的阶是3.
	\end{example}
	\begin{example}\par
		求$\alpha=(1,2,3)(4,5) \in S_5$的阶。
	\end{example}
	\begin{solution}\par
		ord($\alpha$)=lcm(3,2)=6.
	\end{solution}
	\begin{definition}{置换群(Permutation group)}{fubi}
		将任意全变换群的任意子群称为一个置换群。
	\end{definition}

\section{陪集和商群}
	群和她的子群之间有一定的关系，陪商和商群就是研究群和子群之间关系的。
	\begin{definition}{左陪集(Coset)}{fubi}
		设$(G,\bullet )$为群，$H \leq G,a \in G , a\bullet H=\{a \bullet h \mid h \in H\}$,我们称$a\bullet H$这样的子集为群G关于子群H的左陪集,a称为代表元。
	\end{definition}

	\begin{example}
		令$<3>=\{n \times 3 \mid n \in \mathbf{Z}\}$,$(<3>,+) \leq (\mathbf{Z},+)$，求$(<3>,+)$的所有左陪集。
	\end{example}
	\begin{solution}
		令a=0，则相应的左陪集为$\{0+n \times 3 \mid n \in \mathbf{Z}\}$，也就是说这个集合是所有3的倍数组成的集合，用同余的概念，我们也可以表示为$\{ k \mid k \equiv 0(mod\ 3)\}$。\\
		令a=1，则相应的左陪集为$\{1+n \times 3 \mid n \in \mathbf{Z}\}$，用同余的概念，我们也可以表示为$\{ k \mid k \equiv 1(mod\ 3)\}$。\\
		令a=3，则相应的左陪集为$\{2+n \times 3 \mid n \in \mathbf{Z}\}$，用同余的概念，我们也可以表示为$\{ k \mid k \equiv 2(mod\ 3)\}$。\\
		我们再设a为其他整数，不难发现，a为其他整数时，都是以上三个集合之一。所以$(<3>,+)$的左陪集为$\{ k \mid k \equiv 0(mod\ 3)\}$、$\{ k \mid k \equiv 1(mod\ 3)\}$、$\{ k \mid k \equiv 2(mod\ 3)\}$。
	\end{solution}

	\begin{definition}{左陪集关系(Coset relation)}{fubi}
		设$(H,\bullet) \leq (G,\bullet )$，我们确定G上的一个关系$\equiv$ \footnote{此处只是使用了与同余相等同样的符号，两者没有任何关系},$a \equiv b \Leftrightarrow a^{-1} \bullet b \in H$,这个关系叫G上关于H的左陪集关系。也可以写为$\{<a,b> \mid a,b \in G \wedge (a^{-1} \bullet b) \in H\}$.
	\end{definition}

	\begin{example}
		对于群$(\mathbb{Z},+)$，幺元为0，$\forall a,a^{-1}=-a$,此时我们看子群$(<3>,+)$，可知其关于$(<3>,+)$的左陪集关系满足$\{<a,b> \mid a,b \in \mathbb{Z} \wedge (b-a) \in <3> \}$，也就是说b和a的差是3的倍数，那这个关系根据前面的同余关系讨论，显然是模3的同余关系。
	\end{example}

	\begin{theorem}{左陪集关系的等价性}{fubi}
		设$(H,\bullet) \leq (G,\bullet )$，则G上关于H的左陪集关系是等价关系。
	\end{theorem}
	因为左陪集关系是一个等价关系，所以可以利用左陪集关系对G进行划分。
	\begin{definition}{a为代表元的等价类}{fubi}
		群$(G,\bullet )$的子群$(H,\bullet)$所确定的左陪集关系$\equiv$对G划分等价类，将$[a] = \{ x \mid x \in G,a \equiv x \}$等价类叫作以a为代表元的等价类。
	\end{definition}

	\begin{example}
		在前面一个例子的讨论中，我们知道，同余关系是群$(\mathbb{Z},+)$上关于$(<3>,+)$左陪集关系，以a为代表元的等价类$[a]=C_a$,$C_a$就是前面定义的同余等价类。
	\end{example}

	\begin{theorem}{等价类与左陪集关系}{fubi}
		设$(H,\bullet) \leq (G,\bullet )$，则$[a] =a\bullet H$。
	\end{theorem}
	
	\begin{theorem}{拉格朗日定理}{fubi}
		设$(H,\bullet) \leq (G,\bullet ),(G,\bullet )$是有限群，则$|H|$是$|G|$的因子。
	\end{theorem}
	
	\begin{definition}{商集(quotient set)}{fubi}
		设群$(G,\bullet)$有一个子群$(H,\bullet)$，则H在G中的两两不相交左陪集组成的集合称为H在G中的商集，记为$G / H$,$G / H$中两两不想交的左陪集个数叫做H在G中的指标，记为$[G:H]$。
	\end{definition}

	\begin{example}
		同余关系是群$(\mathbb{Z},+)$上关于$(<3>,+)$左陪集关系，那么关于同余关系子群$(<3>,+)$的左陪集根据上面的定理，我们知道有$[0],[1],[2]$,所以<3>在$\mathbb{Z}$中的商集为$\{ [0],[1],[2] \}$。
	\end{example}

	\begin{example}
		更一般的，$(n \mathbb{Z},+)$在整数加法群$(\mathbb{Z},+)$中的商集为$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} =\{[0],[1],\ldots,[n-1] \}$.
	\end{example}
	
	\begin{theorem}{正规子群的充要条件}{fubi}
		群$(G,\bullet)$的子群$(H,\bullet)$是正规子群的充要条件是，$\forall a \in G,aN =Na$。
	\end{theorem}
	根据以上定理可知，正规子群形成的陪集没有左右之分。
	
	\begin{theorem}{商群(quotient group)的定义}{fubi}
		设群$(G,\bullet)$有一个正规子群$(N,\bullet)$，$T=G/N$是N在G中的商集，在商集T上定义二元运算$\odot$:\\
		对于任意$aN,bN \in T \quad (a,b \in G),aN \odot bN =(a \bullet b)N$\\
		则$(T,\odot)$构成群，并称为群$(G,\bullet)$对正规子群$(N,\bullet)$的商群，记为$(T,\odot)  =(G,\bullet)/(N,\bullet)=(G/N,\bullet)$\footnote{在不引起混淆的情况下，有时将$\odot$ 也写为$\bullet$ }。
	\end{theorem}

	\begin{example}
		同余关系是群$(\mathbb{Z},+)$上关于$(<3>,+)$左陪集关系，<3>在$\mathbb{Z}$中的商集$T = \{ [0],[1],[2] \}$，因为整数上的加法运算满足分配律(distributive law)，根据商群定义，群$(\mathbb{Z},+)$对正规子群$(<3>,+)$的商群为(T,+)
	\end{example}

	\begin{note}
		商群$(T,\odot)$是群$(G,\bullet)$的子群吗？\par
		显然不是，集合不是子集关系，二元运算也可能不同。在代数中，商的概念是"元素划分的集合"而非元素的一部分，这个需要体会一下。
	\end{note}

\section{同态和同构}

	"在代数学中，我们主要关心的是代数结构的抽象运算，而元素用什么表示，运算用何符号无关紧要，因此，我们需要建立两个代数结构的比较方法"\cite{fan2003}.\par
	看看下面两个代数结构$(A,\cdot),(B,\circ)$\\
	\begin{tabular}{|c|c|c|}
		\hline 
		$\cdot$& N & Y \\ 
		\hline 
		N & N & N \\ 
		\hline 
		Y & N & Y \\ 
		\hline 
	\end{tabular} 

	\begin{tabular}{|c|c|c|}
		\hline 
		$\circ$& 0 & 1 \\ 
		\hline 
		0 & 0 & 0 \\ 
		\hline 
		1 & 0 & 1 \\ 
		\hline 
	\end{tabular} 
	显然，凭直觉，我们可以看出这两个结构相同，但对于复杂代数结构，我们如何判断？当两个代数结构不完全相同时，我们又如何探讨他们某个侧面的相同性？同态和同构的概念就是解决这个问题的。\par
	\begin{definition}{同态(homomorphism)}{fubi}
		设$(X,\bullet),(Y,*)$是两个群，如果存在一个映射$f:X \rightarrow Y$，使得对任意$x_1 , x_2 \in X$，都有$f(x_1 \bullet x_2)=f(x_1)* f(x_2)$，称f是一个从$(X,\bullet)$到$(Y,*)$的同态映射，或称这两个群同态，记为$(X,\bullet) \sim (Y,*)$，简记为$X \sim Y$。如果f是单射，称为单同态，f是满射，称为满同态。
	\end{definition}

	\begin{definition}{同构(isomorphism)}{fubi}
		如果$(X,\bullet) \sim (Y,*)$，并且映射f是双射，则称这两个群同构，记为$(X,\bullet) \cong (Y,*)$，简记为$X \cong Y$。
	\end{definition}
	一个群到自身的同态叫自同态，到自身的同构叫自同构。当我们根据定义判断两个代数结构是否时同构或者同态时，关键是，是否能找到或者构造出一个映射？\par
	
	\begin{example}\par
		群$(\mathbb{Z},+)$到群$(\mathbb{Z}_n,+)$的映射$f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$为$f(a)=a \ mod \ n$是一个同态映射。
	\end{example}
	\begin{example}\par
		群$(\mathbb{R},+)$ 和 $(\mathbb{R}^+,\times)$ \footnote{ $\mathbb{R}^+$表示正实数集合} 同构。在此构造映射$f(x)=e^x,f(a+b)=e^{a+b}=f(a)\times f(b)$,其存在函数，$g(x)=\ln x,g(a\times b)=\ln{(a\times b)}=\ln a + \ln  =g(a)+g(b)$，$\mathbb{R},\mathbb{R}^+$存在双射。
	\end{example}
	
	在此类教科书中，通常介绍完同态和同构定义后，都会后继进行展开讨论，但我们往往看到，后面的讨论都是围绕同态展开，为什么？难道是遗忘了？其实这个原因是，如果两个代数结构同构，那么从结构的角度看，他们是一样的。\par
	这也就是通常在不同的领域，如果两个结构式同构的，那么一个结构中成立的命题在另一个结构中也成立，比如实数序偶加法和平面向量加法，是两个同构的代数结构，这也就是为什么在计算这类问题时，我们可以根据需要随意的切换到序偶运算和向量运算，而不用担心计算结果的一致性。\par
	\begin{theorem}{同态性质}{fubi}
		两个群满足$(S,\bullet) ~ (G, \odot)$，e和e'分别是他们的单位元，同态映射为$f:S \rightarrow G$，则有：\\
		(1)$f(e)=e'$;\\
		(2)$\forall a \in S,f(a^{-1})=f(a)^{-1}$;\\
		(3)$\forall n \in \mathbb{Z}\quad a \in S,f(a^n)=f(a)^n$;
	\end{theorem}
	\begin{definition}{同态映射的核、像集合}{fubi}
		两个群满足$(S,\bullet) ~ (G, \odot)$,e和e'分别是他们的单位元，同态映射为$f:S \rightarrow G$，令集合$ker\ f=\{ a \mid a \in S,f(a)=e' \}$,称集合$ker\ f$为同态映射f的核；令集合为$im\ f=f(S)=\{f(a) \mid a \in S \}$,称集合$im \ f$为同态映射f的像。
	\end{definition}

	\begin{theorem}{核子群和像子群}{fubi}
		两个群满足$(S,\bullet) ~ (G, \odot)$,e和e'分别是他们的单位元，同态映射为$f:S \rightarrow G$，则有：\\
		(1)$ker \ f \leq S,ker \ f$称为同态映射f的核子群，且f是单同态的充要条件是$ker \ f =\{ e \}$;\\
		(2)$im \ f \leq G,im \ f$称为同态映射f的像子群，且f是满同态的充要条件是$ f(S) =G$;\\
		(3)如果$G' \leq G,f^{-1} (G')=\{ a \mid a \in S,f(a) \in G' \}$,则$f^{-1}(G') \leq S$.
	\end{theorem}
	\begin{theorem}{核子群的正规性}{fubi}
		两个群满足$(S,\bullet) ~ (G, \odot)$,e和e'分别是他们的单位元，同态映射为$f:S \rightarrow G$，则有$ker \ f \vartriangleleft S$.
	\end{theorem}
	\begin{theorem}{同态商群构造}{fubi}
		两个群满足$(N,\bullet) \vartriangleleft (S, \odot)$,构造商群$(S/N, \odot)$,且定义映射$f:S \rightarrow S/N,f(a)=aN$，则f是一个同态映射，且$ker \  f =N$.
	\end{theorem}

	\begin{theorem}{同态基本定理}{fubi}
		设$f:S \rightarrow G$是群$(S,\bullet)$到群$(G, \times)$的同态映射，则存在S/ker \ f到im f的一一映射$h:S/ker \ f \rightarrow im \ f$,使得$(S/ker \ f,\odot) \overset{~}{=} (im \ f, \times)$.
	\end{theorem}
